Inversión. Definición

Es una transformación en la que a una figura corresponde otra, conserva las relaciones angulares (es conforme).

Su principal aplicación en geometría es la determinación de problemas con condiciones angulares entre los que se encuentran la resolución de ejercicios con tangencias.

Se basa en los conceptos de  potencia

La inversión es una transformación con centro-dos puntos inversos (A, A’) están alineados con el Centro de Inversión (I)(punto fijo)

El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.

Esto quiere decir que          IA·IA =IB·IB’=IT·IT=K

 Observamos que de las sucesivas rectas secantes a esta circunferencia encontramos más puntos y sus inversos. Puesto que K es constante, cuanto mayor sea IA, menor será IA’, es decir, cuando más alejado esté un punto A del Centro I, más cerca estará su inverso A’ del Centro I.

xiste una distancia para la cual un punto A y su inverso son iguales.Se trata del punto de tangencia. El punto T coincide con su inverso y para él también se cumple que:

         IT·IT = K

Por tanto,

          IT = Raíz cuadrada de K

Todos los puntos situados a la misma distancia del centro de inversión que este punto T son dobles.

 A este Lugar Geométrico se le llama Circunferencia de Auto inversión
 

Ejercicio.Concepto Arco capaz.

GEOMETRIA MÉTRICA / Lugares geométricos / Arco capaz.

Enunciado: 

Determinar un punto P desde el que se observe bajo el mismo ángulo a los tres lados de un triángulo ABC. 


Razonamiento:

Hemos de determinar un lugar geométrico básico y hay que encontrar un Punto P del plano que cumpla las condiciones geométricas dadas. 

Tendremos que construir la siguiente figura.

Recordemos lo siguiente -apuntes Piziadas.com: 

1. La intersección de dos lugares geométricos planos nos determinará un número finito de puntos que serán las posibles soluciones del problema.
2. Podemos considerar los diferentes ángulos que aparecen al observar desde el punto fijo P a los tres lados del triángulo.
3. La suma de estos tres ángulos debe ser igual a 360º sexagesimales, por lo que si los tres son iguales deben valer 120º cada uno. Este sencillo análisis nos conduce a la utilización de una geometría básica para obtener la solución.
4. Todos los puntos de un arco capaz del ángulo dado sobre el segmento AB pueden ser solución del problema.         

Resolvemos el ejercicio paso a paso aplicando los 4 puntos anteriores.

- Determinamos, el lugar geométrico, arco capaz del ángulo 120º sobre el segmento BC.   

- Determinamos, el lugar geométrico, arco capaz del ángulo 120º sobre el segmento BA.  
       

 -La intersección de ambos lugares geométricos será el punto P: SOLUCIÓN

          

Observa su construcción paso a paso:

 

Figura realizada por MjtGráfica con Geogebra

Teoremas: Cateto -Altura

TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa, y la proyección de ese cateto sobre ella.

   


          b2 = a*n 

         c2 = a*m

TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura medida sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.           

                                                                       
                                                                                

         h2 = m*n

¡Quieres tener tu Tangram? Aquí os cuento cómo conseguirlo...

Gánate esta insignia, la primera de este curso,... llévate tu TANGRAM.

¿Cómo?

Demuestra que puedes reconocer y saber aplicar los conceptos básicos de la geometría métrica.
Si eres capaz de eso, estas iniciando tu pensamiento geométrico.

¿Qué hay que hacer?

1º- Tendréis que realizar la primera tarea del curso en grupo. Grupos de cinco alumnos.

2º- La duración será de dos semanas.
3º- La entrega será una la misma demostración en clase. 

Descripción de la Tarea: 

• Elaboración de uno o varios objetos mediante los cuales podáis aplicar y comprobar que la geometría métrica está presente en el mundo que nos rodea. 

"Ten pensamiento geométrico!"

Apuntes: Arco capaz

GEOMETRIA MÉTRICA

¿Qué es el Arco capaz?

"El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo; es decir, el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento" f. WIKIPEDIA

Arco capaz de un segmento:  

Lugar geométrico obtenido en una circunferencia permitido por la relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central.

Por sus numerosas aplicaciones es de gran importancia en la geometría métrica.

La propiedad descrita a continuación permite enunciar la definición del Arco capaz sobre un segmento.

• Los puntos de una circunferencia, vértices de triángulos (P), cuya base común es una cuerda (AB) de la circunferencia tienen la propiedad de tener asociado en ese vértice P un mismo ángulo.  Dicho ángulo se corresponde con la mitad del ángulo central que abarca dicha base (cuerda)

Compruébalo tú mismo, ...mueve el Punto P y verás que el ángulo se mantiene.

     

Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo α dado es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.  (Wikipedia)

Teorema de Pitágoras

¿Quien era Pitágoras?

Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego nacido en el año 569 a.C. considerado el primer matemático puro de la historia.

El teorema dice que "en un triángulo rectángulo -con un ángulo recto de 90º- el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos¨.

Un cateto es cualquiera de los dos lados menores, a ó b de un triángulo rectángulo, y la hipotenusa c es lado opuesto al ángulo recto o también se define como el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

Este teorema se demuestra tanto gráfica como matemáticamente:

La fórmula matemática que explica la definición anterior es la siguiente: 

c²=  a² + b²  ( área del triángulo)