Ejercicio.Concepto Arco capaz.

GEOMETRIA MÉTRICA / Lugares geométricos / Arco capaz.

Enunciado: 

Determinar un punto P desde el que se observe bajo el mismo ángulo a los tres lados de un triángulo ABC. 


Razonamiento:

Hemos de determinar un lugar geométrico básico y hay que encontrar un Punto P del plano que cumpla las condiciones geométricas dadas. 

Tendremos que construir la siguiente figura.

Recordemos lo siguiente -apuntes Piziadas.com: 

1. La intersección de dos lugares geométricos planos nos determinará un número finito de puntos que serán las posibles soluciones del problema.
2. Podemos considerar los diferentes ángulos que aparecen al observar desde el punto fijo P a los tres lados del triángulo.
3. La suma de estos tres ángulos debe ser igual a 360º sexagesimales, por lo que si los tres son iguales deben valer 120º cada uno. Este sencillo análisis nos conduce a la utilización de una geometría básica para obtener la solución.
4. Todos los puntos de un arco capaz del ángulo dado sobre el segmento AB pueden ser solución del problema.         

Resolvemos el ejercicio paso a paso aplicando los 4 puntos anteriores.

- Determinamos, el lugar geométrico, arco capaz del ángulo 120º sobre el segmento BC.   

- Determinamos, el lugar geométrico, arco capaz del ángulo 120º sobre el segmento BA.  
       

 -La intersección de ambos lugares geométricos será el punto P: SOLUCIÓN

          

Observa su construcción paso a paso:

 

Figura realizada por MjtGráfica con Geogebra

Solución: ejercicio 1

Enunciado: 

Determinar la circunferencia según los siguientes datos:
1º Segmento punto A a punto B de longitud 5m.
2º Angulo alfa= 30º


Razonamiento:

Para determinar la circunferencia, recordamos el concepto del arco capaz, apuntes-arco-capaz-sobre-un-segmento.

Hallaremos el centro del arco capaz o circunferencia del segmento AB desea forma:

1º- Obtendremos una recta tangente que forma un ángulo de 30 grados con el segmento AB.

2º- Mediatriz de AB con la recta perpendicular a la tangente desde el punto B. 
      intersección de las dos rectas seria el centro de la circunferencia.

Figura realizada por MjtGráfica con Geogebra

Para saber mas de cómo se resuelve este Ejercicio pincha aquí.

Construcción del arco capaz
El punto P observa al segmento AB (cuerda de la circunferencia) bajo un determinado ángulo (alfa). Al desplazarse sobre dicha circunferencia el ángulo permanece invariante.
Los segmentos PA y PB varian por tanto en longitud, pero no el ángulo que forman. Este concepto permite determinar una construcción elemental para, dado el segmento AB y el ángulo alfa, determinar el centro de la circunferencia descrita.
Si el punto P se desplaza hasta coincidir con el punto B, el segmento AP se convierte en el AB, y el segmento BP se convierte en la tangente a la circunferencia, por lo que la tangente en B forma alfa grados con el segmento AB.
La tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son ortogonales
Para construir el arco capaz, o determinar la circunferencia, simplemente determinaremos su centro como intersección de la mediatriz de AB con la recta perpendicular a la tangente en B (que determinaremos previamente)   piziadas.com         

Ejercicio nº1

Determinar la circunferencia según los siguientes datos:

1º Segmento punto A a punto B de longitud 5m.

2º Angulo alfa= 30º


Consulta los Apuntes  para resolver el ejercicio 



Solución ejercicio nº1

Apuntes: Arco capaz

GEOMETRIA MÉTRICA

¿Qué es el Arco capaz?

"El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo; es decir, el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento" f. WIKIPEDIA

Arco capaz de un segmento:  

Lugar geométrico obtenido en una circunferencia permitido por la relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central.

Por sus numerosas aplicaciones es de gran importancia en la geometría métrica.

La propiedad descrita a continuación permite enunciar la definición del Arco capaz sobre un segmento.

• Los puntos de una circunferencia, vértices de triángulos (P), cuya base común es una cuerda (AB) de la circunferencia tienen la propiedad de tener asociado en ese vértice P un mismo ángulo.  Dicho ángulo se corresponde con la mitad del ángulo central que abarca dicha base (cuerda)

Compruébalo tú mismo, ...mueve el Punto P y verás que el ángulo se mantiene.

     

Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo α dado es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.  (Wikipedia)